가로 길이가 2이고 세로의 길이가 1인 직사각형 모양의 타일이 있습니다. 이 직사각형 타일을 이용하여 세로의 길이가 3이고 가로의 길이가 n인 바닥을 가득 채우려고 합니다. 타일을 채울 때는 다음과 같이 2가지 방법이 있습니다 타일을 가로로 배치 하는 경우타일을 세로로 배치 하는 경우 예를들어서 n이 8인 직사각형은 다음과 같이 채울 수 있습니다. 직사각형의 가로의 길이 n이 매개변수로 주어질 때, 이 직사각형을 채우는 방법의 수를 return 하는 solution 함수를 완성해주세요.
제한사항 - 가로의 길이 n은 5,000이하의 자연수 입니다. - 경우의 수가 많아 질 수 있으므로, 경우의 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 return해주세요.
문제 풀이
n = 2 =>3 n=4 =>11 n=6 => 41 n=8 => 153
n이 4일때만 만들 수 있는 타입,6일때만 만들수 있는 타일,8일때만 만들 수 있는 타일이 두개씩있다. 이는 따로 더해줘야 한다.
그리고 이전단계의 경우의 수를 곱해주면서 구한다.
f(4)는 f(2)*(n이 2일때의 경우의 수)+2 즉, f(2)*3+2 이다. n이 2일때의 경우의 수를 곱해주는 이유는 타일이 2의 단위로 나누어지기 때문인 것 같다. +2는 n이 4일때만 만들수 있는 경우의 수를 더해준 것이다.
f(6)은 f(4)*3+2에 n이 4일때만 나온 경우의 수를 생각하여 더해줘야 한다.(f(2)*2( n이 4일때만 만들수 있는 타일의수)를 더해주면 된다. 즉 f(4)*3+f(2)*2+2 가 된다.
마찬가지로 n이 8일때는 f(6) x 3 + f(4) x 2 + f(2) x 2 + 2이 된다.
이 식의 규칙성을 찾아보면
f(n) = f(n-2) x 3 + f(n-4) x 2 + … + f(2) x 2 + 2 라는 점화식을 얻을 수 있다. 홀수는 아예 없으니 제외하고 짝수만 있다고 생각하면 f(n) = f(n-1) x 3 + f(n-2) x 2 + … + f(2) x 2 + 2 이 된다. 코드풀이는 리스트로 하기 때문에 인덱스 값으로 가져와서 위의 식이 성립되는 듯. n이 10이라고 하면 식은 5번만 나옴,
https://s2choco.tistory.com/24 이사람 풀이를 참고하여 풀었다.
내코드
def solution(n):
if n%2: return 0
index=n//2
cases=[0]*(index+1)
#둘 다 가능
# cases[1],cases[2]=3,11
cases[0:3]=[0,3,11]
if index<3: return cases[index]
for i in range(3,index+1):
cases[i]=(cases[i-1]*3+sum(cases[1:i-1])*2+2)%1000000007
return cases[-1]
